MODELLO


1.	Area Scientifico Disciplinare	01: Scienze matematiche e informatiche	100%

INDIRIZZO

Dipartmento di Matematica, Politecnico di Torino, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129 Torino
salamon@calvino.polito.it
http://calvino.polito.it/~salamon

CURRICULUM DI STUDI

Nato il: 15/11/55
Hertford e Wolfson Colleges, presso l'Università di Oxford, GB
Laurea (first class, 1976), Master Scientifico (1977),
Dottorato di Ricerca (sotto la direzione di Nigel Hitchin, 1980)

POSIZIONI RICOPERTE

1979-81 University of Maryland, Visiting Assistant Professor
1981-83 Scuola Normale Superiore, Pisa, Borsa Post-Dottorato
1983-84 Institute for Advanced Study, Princeton, Visitatore
1984-2001 University of Oxford and Trinity College, Lecturer e Fellow
1992-93 Scuola Normale Superiore, Pisa, Professore Visitatore
1997 University of Oxford, Reader in Matematica
2000 Università dell'Insubria, Como, idoneo nel concorso di prima fascia di Geometria, Mat/03
2000-03 Politecnico di Torino, Professore Straordinario di Geometria
2003 Scuola Normale Superiore, chiamata per trasferimento, e successiva rinuncia
2003-04 Imperial College, London, nomina a Reader e poi a Full Professor
2004- Politecnico di Torino, Professore Ordinario di Geometria

COMITATI SCIENTIFICI DI RIVISTE

Quarterly Journal of Mathematics (joint editor 1991-94, consulting editor 2000- )
Proceedings of the London Mathematical Society (coeditor 1998-01)
Differential Geometry and its Applications (editorial board 1991-99)
Annals of Global Analysis and Geometry (editorial board 1993-)
Rendiconti dell'Universita' di Trieste (comitato scientifico 1997-)
Annali di Matematica Pura ed Applicata (comitato scientifico 1999-)
Journal of Geometry and Physics (editorial board 2000-)

ATTIVITA' DIDATTICA PER IL DOTTORATO DI RICERCA

Relatore delle Tesi di Dottorato di:
A.F. Swann (D.Phil. Oxford 1990)
M. Mamone Capria (Dottorato, Perugia 1990)
P.Z. Kobak (D.Phil. Oxford 1993)
F. Battaglia (Dottorato, Firenze 1993)
R. Reyes-Carrion (D.Phil. Oxford 1994)
A. Fino (Dottorato, Torino 1997)
R. Herrera (D.Phil. Oxford 1997);
J. Armstrong (D.Phil. Oxford 1998)
S. Chiossi (Dottorato, Genova, 2003).
D. Giovannini (Dottorato, Torino 2004)
D. Conti (Tesi di Perfezionamento SNS, Pisa, prevista per il 2005),
A. Gambioli (Tesi di Dottorato, Roma La Sapienza, prevista per il 2006)

A. Madsen, C. Nunan, G.Ketsetzis (tesi di Master Scientifico)

Corelatore delle tesi di Dottorato di:
L. Ugarte (Ph.D. Bilbao 1997)
A. Andrada (Ph.D. Cordoba 2003)

Direzione di ricerche post-dottorato:
V. de Smedt, V. Apostolov, Y. Nagatomo

Membro di numerose commissioni di dottorato presso le Università di: Berlino, Cambridge, Durham, Genova, Oxford, Pisa, Strasbourg, Warwick, e l'Ecole Polytechnique di Parigi.

Corsi di Dottorato e Scuole Estive:
CR structures (Pisa 1982)
Differential geometry (Perugia 1984)
Harmonic maps of surfaces (Oxford 1985)
Differential forms (Cortona 1985)
G-structures (Oxford 1987)
Lie groups (Cortona 1987)
Holonomy groups (Oxford 1988)
Curvature and characteristic classes (Cortona 1989)
Complex manifolds (Oxford 1992, e Pisa 1993)
Gauge theory (Cortona 1994)
Riemannian geometry (Cortona 1998)
Hermitian geometry (Oxford 1999)
Representations of Lie groups (Torino, 2000-01)
Geometrical structures on Lie groups (Pisa 2001)
Riemannian geometry (Pisa 2003)

ATTIVITA' DIDATTICA PER I CORSI DI LAUREA

In Maryland: Calculus II, Ordinary differential equations, Discrete mathematics.

Per la Laurea in Matematica presso l'Università di Oxford: Analytic and numerical methods, Applications of algebra, Differential equations and discrete mathematics, Geometry (tutti per il primo anno); Galois theory, Geometry of surfaces, Linear algebra, Projective geometry (secondo/terzo anno); Algebraic topology, Complex algebraic curves (terzo/quarto anno). Maple computing course (primo anno). Tutoraggio ed esercitazioni riguardanti un'ampia serie di argomenti di matematica presso il Trinity College di Oxford.

Presso l'Imperial College di Londra: Mathematics for Chemical Engineering (primo anno), Complex Analysis (secondo anno).

Presso il Politecnico di Torino: Analisi Matematica II, Geometria (primo anno, Corso di Laurea in Ingegneria Elettrocnica) Geometria Differenziale (Laurea in Matematica per le Scienze dell'Ingegneria) e relatore di tesi di Laurea; Matematica II (teledidattica); Functional Analysis (Laurea specialistica). Analysis IV (corso di 25 lezioni televisive per UniMed/Nettuno).

CONFERENZE E SEMINARI

Brevi periodi come professore visitatore in Francia (IHES e Nancy I), Germania (MPI, Bonn) e Italia (Bari, Pisa, Torino, SISSA) prima di stabilirmi in Italia.

Diversi seminari tenuti presso Università Britanniche e Italiane.
Conferenze plenarie (o cicli di lezioni) in congressi in: Cecoslovacchia, Danimarca, Francia, Spagna, Portogallo, USA ed ex Unione Sovietica.

Co-organizzatore dei seguenti convegni e workshops:
Homotopy Theory (Cortona, 1988)
Complex and Differential Geometry (Cortona, 1993)
Meetings on Quaternionic Geometry (SISSA, 1994; Vienna, 1995; Rome 1999).
Integrable Systems and Differential Geometry (Tokyo, 2000)
International Congress in memory of Alfred Gray (Bilbao, 2000)
Special Structures in Differential Geometry (LMS Durham Symposium, UK, 2001)
EDGE mid-term review (Pisa, 2003)
New perspectives on holonomy and submanifolds (Torino, 2004)

Organizzatore principale del bimestre intensivo:
Differential Geometry and Topology, CRM (Pisa, 2004)

Conferenziere principale ai seguenti convegni:
International Congress in memory of Alfred Gray (Bilbao 2000),
IXth Meeting on topology, geometry and physics (3 conferenze, Porto 2000)
AMS-UMI joint meeting (Pisa 2002)
EDGE mid-term conference (Edinburgh 2002)
Geometry and analysis towards quantum theory,
UK-Japan winter school (2 conferenze, Durham, 2004)

ATTIVITA' AMMINISTRATIVA

Ad Oxford:
Dean al Trinity College (1989-95)
Presidente della Commissione per gli Esami Finali in Matematica (1992/94)
Presidente della Commissione di Ammissione al Corso di Laurea in Matematica (1997-99)
Vice-Direttore del Dipartimento di Matematica (2000)
Coordinatore del Research Assessment Exercise (RAE 2001) per Matematica

Reti di ricerca e finanziamenti:
Coordinatore locale del progetto di ricerca europeo GADGET nel periodo 1993-97
Coordianto del progetto bilaterale Torino-Oxford del CNR nel periodo 1996-97
Coordinatore locale del progetto di ricerca nazionale COFIN 2002 "Proprietà Geometriche delle Varietà Reali e Complesse"
Coordinatore di un progetto di ricerca GNSAGA nel 2003

CONTACT

Department of Mathematics, Politecnico di Torino, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129 Torino
salamon@calvino.polito.it
http://calvino.polito.it/~salamon

EDUCATION

dob 15/11/55
Hertford and Wolfson Colleges, University of Oxford, UK
BA (first class, 1976), M.Sc. (1977), D.Phil. (under Nigel Hitchin, 1980)

EMPLOYMENT

1979-81 University of Maryland, Visiting Assistant Professor
1981-83 Scuola Normale Superiore, Pisa, Post-doctorate
1983-84 Institute for Advanced Study, Princeton, Member
1984-2001 University of Oxford and Trinity College, Lecturer and Fellow
1992-93 Scuola Normale Superiore, Pisa, Visiting Professor
1997 University of Oxford, promted to Reader in Mathematics
2000 University of Insubria, Como, joint winner of concorso for full professor in Italy
2000-03 Politecnico di Torino, Professor of Geometry
2003 Scuola Normale Superiore, Elected to chair, subsequently declined
2003-04 Imperial College, London, Reader/Professor
2004- Politecnico di Torino, Professor in Geometry

EDITORSHIPS

Quarterly Journal of Mathematics (joint editor 1991-94, consulting editor 2000- )
Proceedings of the London Mathematical Society (coeditor 1998-01)
Differential Geometry and its Applications (editorial board 1991-99)
Annals of Global Analysis and Geometry (editorial board 1993-)
Rendiconti dell'Universita' di Trieste (editorial board 1997-)
Annali di Matematica Pura ed Applicata (editorial board 1999-)
Journal of Geometry and Physics (editorial board 2000-)

GRADUATE TEACHING

Superviser of:
A.F. Swann (D.Phil. Oxford 1990)
M. Mamone Capria (Ph.D. Perugia 1990)
P.Z. Kobak (D.Phil. Oxford 1993)
F. Battaglia (Ph.D. Florence 1993)
R. Reyes-Carrion (D.Phil. Oxford 1994)
A. Fino (Ph.D. Turin 1997)
R. Herrera (D.Phil. Oxford 1997)
J. Armstrong (D.Phil. Oxford 1998)
S. Chiossi (Ph.D. Genoa, expected 2003).
D. Giovannini (Ph.D. Torino 2004)
D. Conti (Perfezionamento expected 2005, SNS, Pisa)
A. Gambioli (Ph.D. expected 2006, Roma La Sapienza)
A. Madsen, C. Nunan, G.Ketsetzis (all M.Sc. students)

Joint superviser of:
L. Ugarte (Ph.D. Bilbao 1997)
A. Andrada (Ph.D. Cordoba 2003)

Post-docs under my direction:
V. de Smedt, V. Apostolov, Y. Nagatomo

Examiner of numerous doctoral theses at the Universities of Berlin, Cambridge, Durham, Genova, Oxford, Pisa, Strasbourg, Warwick, and the Ecole Polytechnique.

Graduate courses and summer schools:
CR structures (Pisa 1982)
Differential geometry (Perugia 1984)
Harmonic maps of surfaces (Oxford 1985)
Differential forms (Cortona 1985)
G-structures (Oxford 1987)
Lie groups (Cortona 1987)
Holonomy groups (Oxford 1988)
Curvature and characteristic classes (Cortona 1989)
Complex manifolds (Oxford 1992, and Pisa 1993)
Gauge theory (Cortona 1994)
Riemannian geometry (Cortona 1998)
Hermitian geometry (Oxford 1999)
Representations of Lie groups (Turin, 2000-01)
Geometrical structures on Lie groups (Pisa, 2001)
Riemannian geometry (Pisa 2003)

UNDERGRADUATE TEACHING

In Maryland: Calculus II, Ordinary differential equations, Discrete mathematics.

For the Mathematics degree in Oxford: Analytic and numerical methods, Applications of algebra, Differential equations and discrete mathematics, Geometry (all 1st year); Galois theory, Geometry of surfaces, Linear algebra, Projective geometry (2nd/3rd year); Algebraic topology, Complex algebraic curves (3rd/4th year). Maple computing course (1st year) including design of projects. Wide selection of topics in pure mathematics covered for numerous tutorials and classes at Trinity College.

In London: Mathematics for Chemical Engineering (1st year), Complex Analysis (2nd year).

In Torino: Analysis II, Geometry (1st year, Faculty of Electronic Engineering) Differential Geometry (Laurea in Matematica) and associated thesis supervision; Mathematics II (teledidattica); Functional; Analysis (Laurea specialistica). Analysis IV (25 lecture television course for a new Mediterranean open university).

LECTURES AND CONFERENCES

Visiting professorships have covered short periods in France (IHES and Nancy I), Germany (MPI, Bonn), and Italy (Bari, Pisa, Turin, SISSA) before I moved there.

Many seminar talks at universities in the UK and Italy.
Plenary (or cycles of) lectures at conferences in Czechoslovakia, Denmark, France, Spain, Portugal, USA and ex Soviet Union.

Active joint organizer of the following conferences or workshops:
Homotopy Theory (Cortona, 1988)
Complex and Differential Geometry (Cortona, 1993)
Meetings on Quaternionic Geometry (SISSA, 1994; Vienna, 1995; Rome 1999).
Integrable Systems and Differential Geometry (Tokyo, 2000)
International Congress in memory of Alfred Gray (Bilbao, 2000)
Special Structures in Differential Geometry (LMS Durham Symposium, UK, 2001)
EDGE mid-term review (Pisa, 2003)
New perspectives on holonomy and submanifolds (Torino, 2004)

Principal organizer of the 2-month research programme
Differential Geometry and Topology, CRM (Pisa, 2004)

Main speaker at the following conferences:
International Congress in memory of Alfred Gray (Bilbao 2000),
IXth Meeting on topology, geometry and physics (3 lectures, Porto 2000)
AMS-UMI joint meeting (Pisa 2002)
EDGE mid-term conference (Edinburgh 2002)
Geometry and analysis towards quantum theory,
UK-Japan winter school (2 lectures, Durham, 2004)

ADMINISTRATION

In Oxford:
Dean (in charge of student discipline and welfare) at Trinity College (1989-95)
Chairman of Examiners in Mathematics Finals in 1992/94
Head of Oxford University mathematics admissions for 1997-99
Vice-Chairman of Department of Mathematics in 2000
Co-coordinator of Reserach Assessment Exercise (RAE 2001) for Pure Mathematics

Research networks and grants:
Local coordinator of EU research project GADGET in 1993-97
Coordinator of CNR grant for bilateral project Turin-Oxford 1996-97
Local coordinator of COFIN 2002 project `Geometrical Properties of Real and Complex Manifolds'
Coordinator of smaller GNSAGA grant in 2003

1.	APOSTOLOV V., SALAMON S. (2004). Kaehler reduction of metrics with holonomy G_2. COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS. vol. 246 pp. 43-61 ISSN: 0010-3616
2.	FINO A., PARTON M., SALAMON S. (2004). Families of strong KT structures in six dimensions. COMMENTARII MATHEMATICI HELVETICI. vol. 79 pp. 317-340 ISSN: 0010-2571
3.	KETSETZIS G., SALAMON S. (2004). Complex structures on the Iwasawa manifold. ADVANCES IN GEOMETRY. vol. 4 pp. 165-179 ISSN: 1615-715X
4.	SALAMON S. (2003). A tour of exceptional geometry. MILAN JOURNAL OF MATHEMATICS. vol. 71 pp. 59-94 ISSN: 1424-9286
5.	SALAMON S. (2002). Hermitian geometry. In M.R. BRIDSON AND S.M. SALAMON Invitations to Geometry and Topology, Oxford Graduate texts in Mathematics 7 (pp. 233-291). ISBN: 0 19 850772 0 Editor and contributor to this volume. OXFORD: Oxford University Press
6.	SALAMON S., S. CHIOSSI (2002). Intrinsic torsion of SU(3) and G_2 structures. In O. GIL-MEDRANO AND V. MIQUEL Differential Geometry, Valencia 2001 (pp. 115-133). ISBN: 981-02-4906-3: World Scientific
7.	ABBENA E., GARBIERO S., SALAMON S. (2001). Almost Hermitian geometry of 6-dimensional nilmanifolds. ANNALI DELLA SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA. CLASSE DI SCIENZE. vol. 30 pp. 147-170 ISSN: 0391-173X
8.	SALAMON S. (2001). Complex structures on nilpotent Lie algebras. JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA. vol. 157 pp. 311-333 ISSN: 0022-4049
9.	SALAMON S. (2001). Almost parallel structures. CONTEMPORARY MATHEMATICS. vol. 288 pp. 162-181 ISSN: 0271-4132
10.	SALAMON S. (1999). Quaternion-Kaehler Geometry. In (ED.) LEBRUN C.; WANG M. Essays on Einstein Manifolds (pp. 83-121). Surveys in Differential Geometry VI.: International Press
11.	SALAMON S. (1998). Geometria Differenziale. Enciclopedia del Novecento (vol. X, suppl II pp. 820-829).: Treccani
12.	ABBENA E., GARBIERO S., SALAMON S. (1997). Hermitian geometry on the Iwasawa manifold. BOLLETTINO DELLA UNIONE MATEMATICA ITALIANA. vol. 11-B pp. 231-249 ISSN: 0041-7084
13.	FINO A., SALAMON S. (1997). Observations on the topology of symmetric spaces. In (ED.) ANDERSEN J.E. ET AL Geometry and Physics (pp. 275-286). Lecture Notes Pure Appl. Math. 184.: Marcel Dekker
14.	HERRERA H., SALAMON S. (1997). Intersection numbers on moduli spaces and symmetries of a Verlinde formula. COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS. vol. 188 pp. 521-534 ISSN: 0010-3616
15.	GALICKI K., SALAMON S. (1996). Betti numbers of 3-Sasakian manifolds. GEOMETRIAE DEDICATA. vol. 63 pp. 45-68 ISSN: 0046-5755
16.	SALAMON S. (1996). On the cohomology of Kaehler and hyper-Kaehler manifolds. TOPOLOGY. vol. 35 pp. 137-155 ISSN: 0040-9383
17.	FALCITELLI L., FARINOLA A., SALAMON S. (1994). Almost Hermitian Geometry. DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS. vol. 4 pp. 259-282 ISSN: 0926-2245
18.	LEBRUN C.R., SALAMON S. (1994). Strong rigidity of positive quaternion-Kaehler manifolds. INVENTIONES MATHEMATICAE. vol. 118 pp. 109-132 ISSN: 0020-9910
19.	POON Y.S., SALAMON S. (1991). Quaternionic Kaehler 8-manifolds with positive scalar curvature. JOURNAL OF DIFFERENTIAL GEOMETRY. vol. 33 pp. 363-378 ISSN: 0022-040X
20.	BRYANT R.L., SALAMON S. (1989). On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy. DUKE MATHEMATICAL JOURNAL. vol. 58 pp. 829-850 ISSN: 0012-7094
21.	SALAMON S. (1989). Riemannian Geometry and Holonomy Groups. ISBN: 0470213132 Pitman Research Notes in Mathematics 201 (and 201 pages).: Longman Scientific and Technical
22.	MAMONE CAPRIA M., SALAMON S. (1988). Yang-Mills fields on quaternionic spaces. NONLINEARITY. vol. 1 pp. 517-530 ISSN: 0951-7715
23.	BURSTALL F., RAWNSLEY J., SALAMON S. (1987). Stable harmonic 2-spheres in symmetric spaces. BULLETIN OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. vol. 16 pp. 274-278 ISSN: 1088-9485
24.	BURSTALL F., SALAMON S. (1987). Tournaments, flags and harmonic maps. MATHEMATISCHE ANNALEN. vol. 277 pp. 249-265 ISSN: 0025-5831
25.	SALAMON S. (1986). Differential geometry of quaternionic manifolds. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ECOLE NORMALE SUPERIEURE. vol. 19 pp. 31-55 ISSN: 0012-9593
26.	EELLS J., SALAMON S. (1985). Twistorial construction of harmonic maps. ANNALI DELLA SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA. CLASSE DI SCIENZE. vol. 19 pp. 589-640 ISSN: 0391-173X
27.	SALAMON S. (1984). Harmonic 4-spaces. MATHEMATISCHE ANNALEN. vol. 269 pp. 169-178 ISSN: 0025-5831
28.	BARKER S.R., SALAMON S. (1983). Analysis on a generalized Heisenberg group. JOURNAL OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY. vol. 28 pp. 184-192 ISSN: 0024-6107
29.	SALAMON S. (1983). Topics in four-dimensional Riemannian geometry. In (ED.) VESENTINI E. Geometry Seminar Luigi Bianchi - 1982 Lecture Notes Math. 1022.: Springer
30.	SALAMON S. (1982). Quaternionic Kaehler manifolds. INVENTIONES MATHEMATICAE. vol. 67 pp. 143--171. ISSN: 0020-9910

nº	Cognome	Nome	Dipartimento	Qualifica	Settore Disc.	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	SALAMON	Simon Montague	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/03	8	8
2.	DI SCALA	Antonio Jose	Dip. MATEMATICA	Ricercatore Universitario	MAT/03	11	11
	TOTALE					19	19

nº	Cognome	Nome	Università	Dipartimento	Qualifica	Settore Disc.	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	ABBENA	Elsa	TORINO	Dip. MATEMATICA	PA	MAT/03	9	9
2.	CONSOLE	Sergio	TORINO	Dip. MATEMATICA	RU	MAT/03	9	9
3.	FINO	Anna Maria	TORINO	Dip. MATEMATICA	RU	MAT/03	9	9
4.	GARBIERO	Sergio	TORINO	Dip. MATEMATICA	PA	MAT/03	9	9
	TOTALE						36	36

nº	Cognome	Nome	Università	Dipartimento	Qualifica	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	MATESSI	Diego	Università degli Studi del PIEMONTE ORIENTALE "Amedeo Avogadro"-Vercelli	Matematica	assegno di ricerca	8	8
	TOTALE					8	8

nº	Cognome	Nome	Nome dell'ente	Qualifica	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	CHIOSSI	Simon	Università Humboldt, Berlin	Borsista	4	4
	TOTALE				4	4

Questa Unità di Ricerca ha base a Torino e il suo coordinatore locale è Simon Salamon. Quest'ultimo ha anche il ruolo di direttore del programma di ricerca proposto che ha come altri nodi Firenze, L'Aquila, Lecce e Roma.

Per quanto riguarda l'Unità di Torino, le geometrie speciali del titolo si riferiscono principalmente alle varietà e sottovarietà Riemanniane con olonomia ridotta. In generale, tali varietà si suddividono nelle classi di varietà simmetriche, Kaehleriane, quaternioniche e (non ultime) eccezionali.

L'Unità si propone di fare ricerca su temi specifici riguardanti queste varietà e alcune classi particolari di loro sottovarietà. Infatti, sarà proprio l'interazione tra le geometria speciale e le sottovarietà che sarà l'interesse principale dei componenti dell'Unità di Torino. Sarà molto utile considerare contemporaneamente una varietà M e una sottovarietà N di un certo tipo, definita o in termini di forme differenziali, o della torsione intrinseca o dell'olonomia normale.

Useremo questa struttura per presentare le basi della ricerca dell'Unità, la quale si divide in quattro ampi progetti, associati ai seguenti esempi:

(i) Un'ipersuperficie di una varietà di dimensione 7 o 8 con olonomia eccezionale.

(ii) Una sottovarietà di uno spazio simmetrico M con una data olonomia normale, facendo particolare riferimento al caso in cui M è lo spazio proiettivo complesso CP^m.

(iii) Una sottovarietà Lagrangiana di uno spazio di Calabi-Yau.

(iv) Una sottovarietà Kaehleriana o una superficie minimale di una varietà quaternionica o iperkaehleriana.

In tutti questi casi, le strutture complesse o simplettiche (o entrambe) hanno un ruolo importante per evidenziare la natura speciale delle geometrie. Discuteremo la teoria di ognuna di esse.

**PROGETTO A: Varietà con olonomia eccezionale**

Il caso (i) ha tratto origine in modo naturale dalle prime costruzioni di metriche esplicite con olonomia eccezionale G_2 e Spin(7) [BrS], anche come una dimostrazione della loro esistenza. Negli ultimi anni, la geometria e la topologia di queste prime costruzioni sono diventate oggetto di ricerca dei teorici delle stringhe, nell'intento di costruire una teoria coerente in dimensione 11 che estenda la supergravità [AcW,AcG,AtW].

Questo lavoro ha dato un grande impulso allo studio dell'olonomia eccezionale e, in un'interazione tra matematici e fisici, ha portato alla scoperta di nuovi metodi di costruzioni di esempi con comportamenti asintotici diversi [BGGG]. Uno di questi è basato sul concetto di forma generica o `stabile' [Hit], e sull'uso di dinamiche Hamiltoniane. Altri metodi sono stati combinati con costruzioni di quozienti di tipo particolare [ApS].

Un punto di partenza per il gruppo di Torino per intraprendere questo studio è stato l'uso di nilvarietà nella costruzione di esempi espliciti, evidenziati precedentemente in [GLPS]. I risultati ottenuti dall'Unità, in gran parte supportati dal COFIN 2002, sono anche importanti per legare le strutture complesse e simplettiche in riferimento alla nuova teoria delle strutture complesse generalizzate [Gu].

La caratterizzazione della riduzione dell'olonomia mediante spinori paralleli ha portato ad un approccio indipendente, in cui le ipersuperfici speciali sono caratterizzate da uno "spinore di Killing generalizzato", e il tensore di Weingarten si riduce alla torsione intrinseca [BGM].

**PROGETTO B: Olonomia normale e spazi simmetrici**

L'esempio (ii) è basato sul concetto di olonomia normale. L'importanza di questo concetto è evidenziata dalla nuova dimostrazione [Olm] del teorema di Simons secondo il quale i gruppi di olonomia irriducibili non simmetrici agiscono transitivamente sulla sfera unitaria. Mentre il problema di determinare varietà complete e compatte con un'assegnata olonomia normale è stato risolto [Jo1], rimangono aperti interessanti problemi di realizzazione per l'olonomia della connessione sul fibrato normale di sottovarietà in vari spazi ambiente.

Per quanto riguarda la categoria degli spazi simmetrici, hanno particolare importanza quelli Hermitiani (di cui CP^m è il principale esempio), seguito poi dai loro analoghi spazi quaternionico-kaehleriani. La rappresentazione di isotropia di uno spazio simmetrico è un importante strumento algebrico e le sue orbite lineari sono insiemi dei punti fissi di un'involuzione antisimplettica. Questo si collega alle sottovarietà isoparametriche delle sfere, e alle sottovarietà con curvature principali costanti [DiO,BCO], generalizzazioni naturali di oggetti familiari nella teoria delle superfici.

Una classificazione dei possibili gruppi di olonomia normale di sottovarietà Kaehleriane di CP^m è stata ottenuta in [AD2], motivata dallo studio classico di Chern delle ipersuperfici Kaehler-Einstein, e dalla congettura che ogni sottovarietà Kaehler-Einstein di CP^m sia omogenea. Un problema analogo, collegato alla geometria CR, è determinare un elenco di possibili gruppi di olonomia normale di sottovarietà Sasakiane di dimensione dispari di CP^m. In entrambi i casi, il problema della realizzazione rimane aperto.

**PROGETTO C: Sottovarietà di spazi di Calabi-Yau**

Tale studio trae origine dalla teoria degli spazi di Calabi-Yau (CY), associati a metriche Riemanniane con gruppo di olonomia uguale a SU(3), o più in generale SU(n). Tali varietà hanno tensore di Ricci nullo ed i loro tensori metrici sono l'analogo delle soluzioni delle equazioni di Einstein nello spazio tempo.

La mirror symmetry è una dualità osservata sull'insieme delle varietà CY in cui i numeri di Hodge sono scambiati riflettendo una dualità tra deformazioni complesse e simplettiche. La congettura di Strominger-Yau-Zaslow [SYZ] cerca di spiegare la mirror symmetry in termini di una coppia di fibrazioni Lagrangiane speciali (SL) con una base comune; le fibre sono tori di dimensione 3 con singolarità su un nodo nella base [Jo2,Gro].

Un analogo di (i) è la costruzione di metriche esplicite Ricci piatte, ottenuta "complessificando" una 3-varietà, che quindi diventa una sottovarietà Lagrangiana. A questo scopo, la teoria dei sistemi differenziali esteriori si è dimostrata efficace [Bry,Ma2]; questo si inquadra nella filosofia generale per cui le strutture geometriche sono indotte sul fibrato tangente e cotangente di una varietà [Bie,Fin].

Nel contesto della T-dualità e dei fibrati con fibre cerchi, sono state formulate varie proposte per generalizzare la mirror symmetry in un contesto non Kaehleriano [Str]. Studi recenti si basano su una descrizione accurata della torsione intrinseca [CCDL,FMT], e su esempi precedentemente studiati dall'Unità [AGS2]. Le fogliazioni Lagrangiane di 6-varietà non Kaehleriane intervengono nella costruzione di 8-varietà con una 4-forma chiusa avente isotropia Sp(2)Sp(1) e quindi nella geometria quaternionica [Gio].

**PROGETTO D: Mappe tra varietà quaternioniche**

La teoria delle varietà quaternioniche è stata molto sviluppata nel lavoro precedente dei componenti di questa Unità di Ricerca [Sal,DoF,DiS]. Utilizza la teoria dello spazio dei twistor, il quale parametrizza le strutture complesse definite localmente e permette di definire alcune mappe "pseudo-olomorfe" tra una superficie e una 4-varietà, o uno spazio proiettivo quaternionico o spazi simili [EeS,BuR,KoL].

Ci sono vari risultati noti in quest'area, che aiutano ad unificare temi di geometria reale e complessa. Tra gli sviluppi interessanti più recenti, citiamo la teoria delle mappe tra spazi iperkaehleriani [ChL]. Sebbene si inquadri strettamente nell'ambito della geometria Riemanniana, questa teoria ha anche valide estensioni alla geometria ipercomplessa e quaternionica, o equivalentemente alle strutture speciali definite da connessioni con torsione.

***OSSERVAZIONI SUI COMPONENTI E L'ATTIVITA' DELL'UNITA'***

Il Coordinatore dell'Unità ha contribuito in modo significativo alla teoria dell'olonomia eccezionale e delle varietà quaternioniche [BrS,Sa1]. Il lavoro di Abbena, Garbiero e Salamon [AGS1,AGS2] ha aiutato a sviluppare la teoria delle strutture speciali su nilvarietà in un'intensa area di ricerca con numerose applicazioni [CaG,CCDL]. Ha dato le basi per le tesi di Dottorato di Chiossi e Giovannini [ChS,Gio]. Due ulteriori studenti di dottorato (D. Conti inserito nell'Unità di Firenze e A. Gambioli in quella di Roma) stanno terminando la loro tesi di Dottorato sotto la guida di Salamon.

La monografia [BCO] di cui Console è uno degli autori ha sviluppato la teoria dell'olonomia normale ed ha presentato alcuni problemi che saranno affrontati nel progetto. Fino ha applicato tecniche della teoria delle deformazioni e dei quozienti simplettici [GrF,BDF] e ha avuto un ruolo importante nello sviluppo della geometria "Kaehleriana con torsione" sia in ambito Hermitiano che ipercomplesso [FPS,FPPW,DoF].

Due nuovi componenti meritano una menzione particolare. Antonio Di Scala si è unito al gruppo nel 2004 e lavora sull'olonomia normale in collaborazione con Console [CDO]; inoltre è autore di una serie di lavori con Alekseevsky [AD*] su sottovarietà minimali e Kaehleriane. Diego Matessi ha iniziato a lavorare in Piemonte nel 2005 e assicurerà un utile contributo sulla geometria simplettica e Calabi Yau di cui è esperto [Ma*].

Le principali collaborazioni del gruppo sono con le Università di Cordoba (Argentina), Odense (Danimarca), California (Riverside) e di Montreal. Ci sono inoltre contatti più informali con Augsburg, Berlino, Digione, Londra, Oxford, Parigi, Sofia.

Il tema di questo progetto si inquadra nello stesso ambito del breve convegno "New perspectives in holonomy and submanifolds", tenuto a Torino nell'aprile 2004, e sovvenzionato in parte dal COFIN 2002. Tale convegno è servito a riunire un certo numero di collaboratori dell'Unità provenienti dalle università sopra elencate. Inoltre ha permesso di focalizzare alcuni problemi specifici elencati nella Sezione 2.5.

This Research Unit is based in Turin, and its local coordinator is Simon Salamon. He also has the separate role of overall director for the proposed research program that incorporates nodes at Florence, L'Aquila, Lecce and Rome.

As far as the Unit in Turin is concerned, the special geometries of its title refer mainly to Riemannian manifolds and submanifolds with reduced holonomy. Broadly speaking, such manifolds fall into the categories symmetric, Kaehler, quaternionic, and (last but not least) exceptional.

The Unit will undertake research into specific topics concerning these manifolds and some particular classes of their submanifolds. Indeed, it is the interaction between special geometry and submanifolds that will be the overriding interest of members in Turin. A lot is to be gained by considering simultaneously a given manifold M and a submanifold N of a certain type, defined either with reference to differential forms, intrinsic torsion or normal holonomy.

We shall use this set-up to present the basis of the Unit's research, which is divided into four ample projects, associated to the following examples:

(i) A hypersurface of a manifold of dimension 7 or 8 with exceptional holonomy.

(ii) A submanifold of a symmetric space M with assigned normal holonomy, with special reference to the case in which M is complex projective space CP^m.

(iii) A special Lagrangian submanifold of a Calabi-Yau space.

(iv) A Kaehler submanifold or minimal surface inside a quaternionic or hyperkaehler manifold.

In all of these situations complex or symplectic structures (or both) play an important role to enhance the special nature of the geometries. We shall discuss the theory of each in turn.

**PROJECT A: Manifolds with exceptional holonomy**

Case (i) arose naturally in the first constructions of explicit metrics with exceptional holonomy G_2 and Spin(7) [BrS], and as a proof of their existence. During the past few years, the geometry and topology of these first constructions has become the subject of current research of string theorists as part of the effort to construct a consistent 11-dimensional theory extending supergravity [AcW,AcG,AtW].

This work has had a big impetus on the subject of exceptional holonomy and, in a two-way exchange between mathematicians and physicists, has led to the discovery of new methods for engineering examples with different asymptotic behaviour [BGGG]. One of these is based on the concept of a generic or `stable' form [Hit], and the use of Hamiltonian dynamics. Other methods have also been combined with specialized quotient constructions [ApS].

A starting point for the group in Turin to enter this study was the use of nilmanifolds in the construction of explicit examples, first carried out in [GLPS]. The Unit's work, much achieved under the auspices of Italian grant COFIN 2002, is also relevant to the unification of complex and symplectic structures achieved by the new theory of generalized complex structures [Gu].

The characterization of a holonomy reduction by parallel spinors has led to an independent approach, whereby special hypersurfaces are characterized by a "generalized Killing spinor", and the Weingarten tensor reduces to the intrinsic torsion [BGM].

**PROJECT B: Normal holonomy and symmetric spaces**

Example (ii) is based on the concept of normal holonomy. The importance of this is evident in a new proof [Olm] of Simons' theorem asserting that irreducible non-symmetric holonomy groups act transitively on the unit sphere. Whilst the determination of complete and compact manifolds with assigned holonomy groups has been settled [Jo1], there remain intriguing realization problems for the holonomy of the connection on the normal bundle of a submanifold in various ambient manifolds.

For the category of symmetric spaces, the Hermitian ones (of which CP^m is the prime example) are especially important, followed by their quaternion-Kaehler analogues. The isotropy representation of a symmetric space is an important algebraic gadget and its linear orbits are fixed point sets of an anti-symplectic involution. This relates to isoparametric submanifolds in spheres, and submanifolds with constant principal curvatures [DiO,BCO], natural generalizations of familiar objects in the theory of surfaces.

A classification of possible normal holonomy groups of Kaehler submanifolds in CP^m has been obtained in [AD2], having been motivated by Chern's classic study of Kaehler-Einstein hypersurfaces, and the conjecture that any Kaehler-Einstein submanifold of CP^m is homogeneous. An analogous problem, related to CR geometry, is the determination of a list of possible normal holonomy groups of odd-dimensional Sasakian submanifolds of CP^m. In both cases, the realization problem remains open.

**PROJECT C: Submanifolds of Calabi-Yau spaces**

This arises from the theory of Calabi-Yau (CY) spaces, that are associated with Riemannian metrics with holonomy group equal to SU(3), or more generally SU(n). Such manifolds have zero Ricci tensor and their metric tensors are analogues of solutions of Einstein's equations in space-time.

Mirror symmetry is an observed pairing in the set of CY manifolds in which Hodge numbers are interchanged to reflect a duality between complex and symplectic deformations. The Strominger-Yau-Zaslow conjecture [SYZ] attempts to explain mirror symmetry in terms of a pair of special Lagrangian (SL) foliations with a common base; the fibres are 3-tori that develop singularities over a knot in the base [Jo2,Gro].

An analogue of (i) is the construction of explicit Ricci-flat metrics by "complexifying" a 3-manifold, that then becomes a Lagrangian submanifold. The theory of exterior differential systems has proved successful for this task [Bry,Ma2], which also fits with the established philosophy whereby geometrical structures are induced on the tangent and cotangent bundle of manifolds [Bie,Fin].

In the context of T-duality and circle bundles, there have been various proposals to generalize mirror symmetry to a non-Kaehler setting [Str]. Recent studies of this rely on an accurate description of the intrinsic torsion [CCDL,FMT], and examples previously studied by the Unit [AGS2]. Lagrangian foliations of non-Kaehler 6-manifolds play a part in the construction of 8-manifolds with a closed 4-form with stabilizer Sp(2)Sp(1), and therefore quaternionic geometry [Gio].

**PROJECT D: Maps to and from quaternionic manifolds**

The theory of quaternionic manifolds is very much in the forefront of past work of members of this research unit [Sa1l,DoF,DiS]. It exploits the theory of the twistor space, that parametrizes locally-defined complex structures and permits the definition of certain "pseudoholomorphic" maps of a surface into 4-manifolds, quaternionic projective space and similar such spaces [EeS,BuR,KoL].

There is a spectrum of known results in this area, that helps unite topics from real and complex geometry. Of the more recent interesting developments, we cite the theory of mappings between hyperkaehler spaces [ChL]. Whilst strictly within the realm of Riemannian geometry, this theory also has valid extensions to hypercomplex and quaternionic geometry, or equivalently to special structures defined by connections with torsion.

***REMARKS ON THE UNIT'S MEMBERSHIP AND ACTIVITY***

The Unit's coordinator has made significant contributions to the theory of exceptional holonomy and quaternionic manifolds [BrS,Sa1]. The work of Abbena, Garbiero and Salamon [AGS1,AGS2] has helped develop the theory of special structures on nilmanifolds into an intense area research with numerous applications [CaG,CCDL]. It formed the basis of the PhD's of Chiossi and Giovannini [ChS,Gio]. Two more graduate students (D. Conti listed under the Florentine Unit and A. Gambioli listed under Rome) are currently finishing their PhD's under Salamon's supervision.

Console's joint monograph [BCO] has advanced the theory of normal holonomy and set the scene for some of the problems to be tackled under the present project. Fino has applied techniques in deformation theory and symplectic quotients [FiG,BDF] and played an important role in developing "Kaehler with torsion" geometry in both a Hermitian and hypercomplex setting [FPS,FPPW,DoF].

Two newer members merit special mention. Antonio Di Scala joined the group in 2004, and works on normal holonomy in collaboration with Console [CDO]; he also has a series of papers with Alekseevsky [AD*] on minimal and Kaehler submanifolds. Diego Matessi began work in Piemonte in 2005, and will provide welcome expertise on symplectic and Calabi-Yau geometry [Ma*].

The group's main collaborations are with the Universities of Cordoba (Argentina), Odense (Denmark), California at Riverside, and Montreal. There are also more informal contacts with Augsburg, Berlin, Dijon, London, Oxford, Paris, Sofia.

The subject of this proposal falls within that of the brief workshop "New perspectives in holonomy and submanifolds", held in Turin in April 2004, and partly funded by the Italian grant COFIN 2002. This served to bring together a number of the Unit's collaborators from institutions cited above, and helped formulate some of the specific problems listed in Section 2.5 below.

***PUBLICATIONS OF SIGNIFICANCE TO THE UNIT'S PROPOSAL***

(Other references follow below)

[AcG] B.S. Acharya and S. Gukov: M theory and singularities of exceptional holonomy manifolds, Phys. Rep. 392 (2004), 121-189.

[AcW] B.S. Acharya, E. Witten: Chiral fermions from manifolds of G_2 holonomy, hep-th/0109152.

[AtW] M. Atiyah, E. Witten: M-theory dynamics on a manifold of G_2 holonomy, Adv. Theor. Math. Phys. 6 (2002), 1-106.

[BGM] C. Baer, P. Gauduchon, A. Moroianu: Generalized Cylinders in Semi-Riemannian and Spin Geometry, math.DG/0303095.

[Bie] R. Bielawski: Kaehler metrics on G_C, J. Reine Angew. Math. 559 (2003), 123-136.

[Biq] O. Biquard: Métriques d'Einstein asymptotiquemente symétriques, Astérisque 265 (2000).

[BGH] D. Biss, V. Guillemin, T. Holm: The mod 2 equivariant cohomology of real loci, Adv. in Math. 185 (2004), 370-399.

[BGGG] A. Brandhuber, J. Gomis, S.S. Gubser, S. Gukov: Gauge theory at large N and new G_2 manifolds, Nucl. Phys. B 611 (2001), 179-204.

[BrS] M.R. Bridson, S.M. Salamon (editors): Invitations to Geometry and Topology, Oxford Grad. Texts Math. 7, Oxford University Press, 2002.

[Bry] R.L. Bryant: Calibrated embeddings in the special Lagrangian and coassociative cases, Ann. Global Anal. Geom. 18 (2000), 405-435.

[BuR] F.E. Burstall, J.H. Rawnsley: Twistor theory for Riemannian symmetric spaces, Springer LMN 1424, 1990.

[CCDL] G.L. Cardoso, G. Curio, G. Dall'Agata, D. Lust: Heterotic String theory on non-Kaehler manifolds with H-Flux and gaugino condensate, hep-th/0310021.

[CaG] G.R. Cavalcanti, M. Gualtieri: Generalized complex structures on nilmanifolds, math.DG/0404451.

[ChL] J. Chen, J. Li: Quaternionic maps between hyperkaehler manifolds, J. Differ. Geom. 55 (2000), 355-384.

[Chr] U. Christ: Homogeneity of equifocal submanifolds, J. Differ. Geom. 62 (2002), 1-15.

[FMT] S. Fidanza, R. Minasian, A. Tomasiello: Mirror symmetric SU(3) structure manifolds with NS fluxes, Comm. Math. Phys. 254 (2005), 401-423.

[FrI] T. Friedrich, S. Ivanov: Parallel spinors and connections with skew-symmetric torsion in string theory, Asian Math. J. 6 (2002), 303-335.

[GLPS] G.W. Gibbons, H. Lu, C.N. Pope, K.S. Stelle: Supersymmetric domain walls from metrics of special holonomy, Nucl. Phys. B 623 (2002), 3-46.

[Gro] M. Gross: Calabi-Yau manifolds and mirror symmetry, in Calabi-Yau manifolds and related geometries, Springer, 2003, pp 69-159.

[Gu] M. Gualtieri: Generalized complex geometry, DPhil thesis, University of Oxford, math.DG/0401221.

[Gua] D. Guan: Existence of extremal metrics on almost homogeneous manifolds of cohomogeneity one, III, Internat. J. Math. 14 (2003), 259-287.

[Heb] H. Heber, Noncompact homogeneous Einstein spaces, Invent. Math. 133 (1998), 279-352.

[Hit] N. Hitchin: Stable forms and special metrics, Contemp. Math., Amer. Math. Soc. 288 (2001), 70-89.

[Jo1] D. Joyce: Compact manifolds with special holonomy, Oxford University Press, 2000.

[Jo2] D. Joyce: Special Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities, V: Survey and applications, math.DG/0303272.

[KoL] P.Z. Kobak, B. Loo: Moduli of quaternionic immersions of 2-spheres into quaternionic projective spaces, Ann. Global Amal. Geom. 16 (1998), 527-541.

[Kov] A. Kovalev: Twisted connected sums and special Riemannian holonomy, J. Reine Angew. Math. 565 (2003), 125-160.

[MPPS] C. McLaughlin, H. Pedersen, Y.S. Poon, S. Salamon: Deformation of 2-step nilmanifolds with abelian complex structures, J. London Math. Soc., in stampa.

[MiP] R. Miatello, R.A. Podestá, The spectrum of twisted Dirac operators on compact flat manifolds, Trans. Amer. Math. Soc., in stampa.

[Olm] C. Olmos, A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem, Annals of Math., 161 (2005), 579-588.

[Str] A. Strominger: Superstrings with torsion, Nucl. Phys. B 274 (1986), 253-284.

[SYZ] A. Strominger, S.T. Yau, E. Zaslow: Mirror Symmetry is T-duality, Nucl. Phys. B 479 (1996), 243-259.

***PUBLICATIONS BY MEMBERS OF THE RESEARCH GROUP***

[AGS1] E. Abbena, S. Garbiero, S. Salamon: Hermitian geometry on the Iwasawa manifold, Boll. Un. Mat. It. B 11 (1997), 231-249.

[AGS2] E. Abbena, S. Garbiero, S. Salamon: Almost Hermitian geometry on 6-dimensional nilmanifolds, Ann. Sc. Norm. Sup. 30 (2001) 147-170.

[AGS3] E. Abbena, S. Garbiero, S. Salamon: SU(3) structures and spinors on the Iwasawa manifold, preprint.

[AD1] D.V. Alekseevsky and A.J. Di Scala: Minimal homogeneous submanifolds of symmetric spaces, in Lie groups and Symmetric Spaces, Amer. Math. Soc. Transl. 210, 2003, pp 11-25.

[AD2] D.V. Alekseevsky and A.J. Di Scala: The normal holonomy group of Kaehler submanifolds, Proc. London Math. Soc. 89 (2004), 193-216.

[ApS] V. Apostolov, S. Salamon: Kaehler reduction of metrics with holonomy G_2, Commun. Math. Phys. 246 (2004), 43-61.

[BDF] M.L. Barberis, I. Dotti, A Fino: Hyper-Kaehler quotients of solvable Lie groups, math.DG/0411307.

[BCO] J. Berndt, S. Console, C. Olmos: Submanifolds and Holonomy, Research Notes in Math. 434, CRC Press, 2003.

[BrS] R.L. Bryant and S.M. Salamon: On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy, Duke Math. J. 58 (1989), 829-850.

[ChF] S. Chiossi, A. Fino: Conformally parallel G_2 structures on a class of solvmanifolds, math.DG/0409137.

[ChS] S. Chiossi, S. Salamon: Intrinsic torsion of SU(3) and G_2 structures, Differential geometry, Valencia, 2001, 115-133, World Scientific, 2002.

[CSw] S.G. Chiossi, A. Swann: G_2 structures with torsion from half-integrable nilmanifolds, math.DG/0404554, J. Geom. Physics, in stampa.

[Con] S. Console: Geodesics and moment maps of symmetric R-spaces, Quaderno 25, Dip. Mat, Univ. Torino (2003).

[CDO] S. Console, A.J. Di Scala, C. Olmos: Holonomy and submanifold geometry, Enseign. Math. 48 (2002), 23-50.

[CFS] S. Console, A. Fino, E. Samiou: The moduli space of 6-dimensional 2-step nilpotent Lie algebras, Ann. Global Anal. Geom. 27 (2005), 17-32.

[CoM] S. Console, R. Miatello, Z_2-Cohomology of flat Riemannian manifolds, preprint 2005

[CoS] D. Conti, S. Salamon: Generalized Killing spinors in dimension 5, preprint, 2005.

[DiS] A.J. Di Scala: Minimal immersions of Kähler manifolds into Euclidean spaces. Bull. London Math. Soc. 35 (2003), 825-827.

[DiO] A.J. Di Scala, C. Olmos, Submanifolds with curvature normals of constant length and the Gauss map. J. Reine Angew. Math. 574 (2004), 79-102

[DoF] I.G. Dotti, A. Fino: Hyperkaehler torsion structures invariant by nilpotent Lie groups, Class. Quant. Gravity 19 (2002) 551-562.

[EeS] J. Eells, S. Salamon: Twistorial construction of harmonic maps of surfaces into four-manifolds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 12 (1985), 589-640.

[Fin] A. Fino: Cotangent bundles of 4-dimensional hypercomplex Lie groups: Manuscripta Math. 109 (2002), 527-541.

[FiG] A. Fino, G. Grantcharov: On some properties of the manifolds with skew symmetric torsion and holonomy SU(n) and Sp(n), Adv. in Math. 189 (2004), 439-450.

[FPS] A. Fino, M. Parton, S. Salamon: Families of strong KT structures in six dimensions, Comment. Math. Helv. 79 (2004), 317-340.

[FPPW] A. Fino, H. Pedersen, Y.S. Poon, M. Weye Sorrensen: Neutral Calabi-Yau structures on Kodaira manifolds, Comm. Math. Phys. 248 (2004) 255-268.

[Gio] D. Giovannini: Special structures and symplectic geometry, PhD thesis, Turin, 2004.

[Gra] A. Gray: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, terza edizione curata da E. Abbena e S. Salamon, CRC Press, circa 1000 pagine, uscita prevista nel 2005.

[MaS] M. Mamone Capria, S. Salamon: Yang-Mills fields on quaternionic spaces, Nonlinearity 1 (1988), 517-530.

[Ma1] D. Matessi: Some families of special Lagrangian tori, Math. Ann. 325 (2003), 211-228.

[Ma2] D. Matessi: Isometric embeddings of families of special Lagrangian submanifolds, math.DG/0503494.

[Sa1] S. Salamon: Quaternion-Kaehler geometry, in Essays on Einstein Manifolds, (eds C.R. LeBrun, M. Wang), International Press, 1999, pp 83-121.

[Sa2] S. Salamon: A tour of exceptional geometry, Milan J. Math. 71 (2003) 59-94.

L'intero programma di ricerca ha i seguenti quattro sottotitoli:
.....(I) Strutture speciali
....(II) Equazioni della fisica matematica
...(III) Geometria delle sottovarietà
....(IV) Geometria di contatto e CR.

Ci sono già intersezioni al riguardo e interazioni tra i temi e le tecniche rappresentate da questi titoli. All'interno di questa struttura generale, l'Unità di Torino propone quattro progetti, già elencati nella Sezione 2.4 precedente. Sono:
....(A) Varietà con olonomia eccezionale
....(B) Olonomia normale e spazi simmetrici
....(C) Sottovarietà di spazi di Calabi-Yau
....(D) Mappe tra varietà quaternioniche

Questi progetti si sviluppano lungo le quattro direzioni indicate dai titoli e tutte legano strettamente (I) e (III). Ognuno si suddividerà in due specifici sottoprogetti che riflettono i diversi approcci adottati dai componenti dell'Unità di Ricerca. Il lavoro sull'olonomia speciale proposto in (I) e (III) implica la costruzione di metriche con tensore di Ricci nullo. Questo aspetto trae origine dalla fisica matematica e coinvolge altri aspetti presenti in (II). Il lavoro sulle ipersuperfici, inerente a molti degli otto sottoprogetti, ha interazioni con (IV).

**PROGETTO A: Varietà con olonomia eccezionale**

Le varietà con olonomia eccezionale hanno suscitato molto interesse tra i fisici matematici e le G_2 varietà danno luogo a una generalizzazione della teoria di Calabi-Yau che ha ricevuto molta attenzione nella letteratura. Nella M-teoria, che è un'unificazione 11-dimensionale della supergravità con le teorie note sulle stringhe, le varietà con olonomia speciale costituiscono degli spazi interni su cui si possono determinare le soluzioni più semplici delle equazioni dei campi ad esse collegate.

Molte costruzioni esplicite di metriche con olonomia G_2 si ottengono partendo da varietà 6-dimensionali con una SU(3) struttura detta "semipiatta" [GLPS,Hit,ChS]. Gli esempi più semplici hanno origine da nilvarietà di dimensione 6, le cui equazioni di struttura di lunghezza finita garantiscono una soluzione semplice delle corrispondenti equazioni differenziali. Il lavoro del gruppo [AGS1,AGS2] assicura un supporto ad hoc per tali esempi e un approccio algebrico [ChF] si è dimostrato utile nell'interpretazione dei risultati.

In una situazione modello, un'azione di un cerchio determina una mappa momento scalare f, e si possono confrontare le ipersuperfici f=costante con l'S^1 quoziente. Perciò, una comprensione completa della relazione tra la geometria quasi-Hermitiana e le geometrie eccezionali in dimensione 6 e 7 richiede l'uso sia delle ipersuperfici che delle costruzioni quoziente. Questo costituisce la parte essenziale del Progetto A.

*Sottoprogetto A1* Ci si propone di sviluppare la geometria ideata nei lavori di Acharya, Atiyah, Gukov e Witten in cui viene posta un'attenzione speciale alla descrizione e costruzione di singolarità di G_2 metriche per descrivere la gerarchia di particelle. Ci soffermeremo su una costruzione congetturale di metriche con olonomia G_2 ottenute in [AcW] come S^1 quozienti di 8-varietà iperkaehleriane, quozienti esse stesse di spazi piatti e fibrati di Swann su orbifold 4-dimensionali. La teoria fornisce uno stretto legame tra la geometria quaternionica e la teoria dei twistor.

Quozienti di G_2 spazi standard per azioni di cerchi sono stati introdotti diversi anni fa [AtW], ma restano da descrivere le esplicite strutture geometriche sulle corrispondenti varietà simplettiche di dimensione 6. Questo sarà affrontato usando tecniche di [ApS], in cui le G_2 metriche danno origine a una 4-varietà e a una soluzione di un'equazione di evoluzione del secondo ordine su di essa. Viceversa, si possono costruire G_2 metriche da assegnate varietà iperkaehleriane generalizzate, e un obiettivo è quello di trovare nuove metriche complete con olonomia uguale a G_2.

*Sottoprogetto A2* La relazione tra le geometrie rilevanti in dimensione 6 e 7 è collegata alla costruzione generale di metriche Einstein su estensioni risolubili di algebre nilpotenti di dimensione inferiore di un'unità [ChF,Heb]. Questo aspetto verrà messo in relazione con le metriche G_2 conformemente parallele che sono state determinate su gruppi risolubili, usando il metodo delle equazioni di evoluzione [Hit,GLPS].

Si intende continuare la classificazione delle SU(3) strutture sulle nilvarietà di dimensione 6 usando gli spinori [AGS3], in relazione alla nuova nozione di strutture complesse generalizzate [Gu,CaG]. Lo studio di metriche Hermitiane per le quali la connessione di Bismut ha olonomia ridotta è collegata alla geometria "Kaehleriana con torsione", e si auspica utile per una classificazione di G_2 strutture con una 3-forma di torsione chiusa [CSw].

La costruzione principale delle varietà compatte con olonomia G_2 usa la risoluzione di un quoziente singolare di un toro T^7 per un sottogruppo discreto [Jo1]. Metteremo in relazione la coomologia di orbifold di esempi analoghi con la teoria dell'indice di coppie di operatori di Dirac definiti da una riduzione dell'olonomia [Sa2]. Inizieremo inoltre uno studio più generale della geometria e topologia di varietà lisce con olonomia discreta in relazione alle loro proprietà spettrali e l'operatore di Dirac [MiP]. In particolare, si intendono applicare metodi sviluppati in [CoM] al calcolo della Z_2-coomologia e le classi di Stiefel-Whitney di varietà piatte con olonomia discreta.

**PROGETTO B: Olonomia normale e spazi simmetrici**

Riguarda lo studio del gruppo di olonomia dellal connessione indotta sul fibrato normale di una sottovarietà. Il teorema di olonomia normale classifica l'olonomia di questa connessione, fornendo sia un analogo del teorema di Berger che un nuovo approccio alla sua dimostrazione [Olm].

Le orbite della rappresentazione di isotropia di uno spazio simmetrico sono varietà di bandiera generalizzate, che estendono il caso delle orbite aggiunte in un'algebra di Lie. Esse forniscono modelli di sottovarietà di spazi a curvatura costante con un comportamento speciale, molto importante per determinare il gruppo di olonomia normale e la geometria di sottovarietà con invarianti geometrici semplici [DiO,BCO]. Su ogni varietà di bandiera generalizzata, si ha, oltre all'azione Hamiltoniana di un toro T^n, un'azione di (Z_2)^n [BGH]. Questo dà luogo alla realizzazione delle varietà di bandiera generalizzate come varietà focali di sottovarietà isoparametriche dello spazio Euclideo [Con], e dà luogo allo studio dell'interazione tra le proprietà simplettiche e Riemanniane usando la mappa momento.

*Sottoprogetto B1* Si prenderà in esame il problema della realizzazione dell'olonomia normale di sottovarietà Kaehleriane di CP^m, basandosi su [AD1,AD2]. Dato uno spazio simmetrico Hermitiano irriducibile G/K, il problema è di trovare una sottovarietà Kaehleriana di CP^m il cui gruppo di olonomia normale operi come la rappresentazione di isotropia di G/K. Inizieremo lo studio dell'olonomia normale nel caso analogo, ma di dimensione dispari, delle sottovarietà Sasakiane e esamineremo le proprietà di integrabilità delle corrispondenti strutture CR. Il problema analogo per sottovarietà di spazi quaternionici simmetrici sarà considerato separatamente nel successivo (D1).

*Sottoprogetto B2* L'omogeneità per alcune classi di ipersuperfici isoparametriche rimane un problema aperto, sebbene di recente sia stata provata per le sottovarietà equifocali di spazi simmetrici [Chr]. Usando proprietà di sottovarietà isoparametriche e focali, studieremo insiemi massimali di punti a due a due antipodali di una varietà di bandiera e le immagini mediante la mappa momento di geodetiche chiuse [Con]. Questo collega proprietà simplettiche, Riemanniane e topologiche (mediante la coomologia Z_2^n-equivariante) delle varietà di bandiera generalizzate.

**PROGETTO C: Sottovarietà di spazi di Calabi-Yau**

In parole povere, uno spazio di Calabi-Yau è una varietà Kaehleriana compatta di dimensione reale 2n, con primo numero di Betti nullo e prima classe di Chern nulla. Il teorema di Yau implica che tale varietà ammette una metrica Riemanniana con tensore di Ricci nullo, o equivalentemente, una con olonomia uguale a SU(n). Tuttavia, in assenza di una conoscenza esplicita di tali metriche, le varietà di Calabi-Yau sono in pratica determinate e definite dall'esistenza di una n-forma olomorfa chiusa e mai nulla.

Ai fini di questo progetto uno "spazio di Calabi-Yau" consisterà in una varietà non compatta di dimensione 6 con una metrica esplicita (spesso non completa) con olonomia uguale a SU(3). Siamo in particolare interessati a come questa geometria si colleghi a due classi di sottovarietà, una generica e l'altra ristretta. La prima è la classe delle ipersuperfici arbitrarie lisce e la seconda è la classe delle sottovarietà Lagrangiane speciali.

*Sottoprogetto C1* In analogia al caso della geometria eccezionale, una metrica con olonomia SU(3) induce su ogni ipersuperficie liscia un tipo di SU(2)-struttura integrabile la cui definizione si basa sulla teoria delle forme stabili [Hit]. Il termine "hypo" è stato introdotto in [CoS] per descrivere tali 5-varietà, riflettendo il fatto che soddisfano una condizione più debole (o sono "sotto" definite) rispetto alla classe più familiare degli spazi Einstein-Sasaki. In questo contesto di dimensione piccola, si intende trovare una costruzione inversa, che a partire da una 5-varietà hypo induca una metrica con olonomia SU(3) su un prodotto della varietà stessa con un intervallo. Le questioni sono complicate dall'esistenza di numerose forme differenziali che definiscono le strutture corrispondenti [CoS].

La precedente questione si inquadra nel più generale "problema di embedding", in cui una data varietà di dimensione n - 1 è estesa ad una con olonomia ridotta in dimensione n. Si può formulare più efficacemente questo problema nel linguaggio degli spinori, sebbene la teoria generale di [BGM] abbia validità limitata in questo caso. Si intende affrontare il problema usando i sistemi differenziali esterni, che sono stati applicati con successo al problema qui di seguito. Metteremo inoltre in luce i legami con le strutture contatto e CR, e l'analisi sui gruppi di Heisenberg generalizzati.

*Sottoprogetto C2* Consisterà nello studio di sottovarietà Lagrangiane speciali in spazi di Calabi-Yau e 6-varietà con una SU(3)-struttura invariante. Questo problema trae origine nella costruzione [Bry] di metriche Ricci piatte su una 6-varietà costruita complessificando un toro di dimensione 3, argomento già sviluppato da uno dei componenti del gruppo [Ma1]. Il nostro particolare approccio deriva dal seguente fatto.

Le strutture quaternioniche su 8-varietà con una 4-forma chiusa Sp(2)Sp(1)-invariante si possono ridurre a varietà compatte simplettiche di dimensine 6 che ammettono una terna di fogliazioni Lagrangiane trasversali. Il nostro obiettivo è di determinare una fonte di esempi e di descrivere le corrispondenti sottovarietà Lagrangiante speciali [Mat2,Gio].

Se il tempo lo consentirà, estenderemo questa teoria alle 7-varietà che ammettono metriche con olonomia uguale a G_2, per le quali il ruolo delle sottovarietà SL è rimpiazzato da quello delle sottovarietà coassociative 4-dimensionali [Jo1,Kov].

**PROGETTO D: Mappe tra varietà quaternioniche**

La geometria quaternionica ha un importante ruolo di supporto in alcuni dei precedenti problemi. Abbiamo già menzionato un'applicazione della costruzione del quoziente iperkaehleriano alla costruzione di metriche con olonomia G_2. L'esistenza di una serie di spazi quaternionici simmetrici ("spazi di Wolf"), uno per ogni gruppo di Lie semplice, è rilevante per lo studio generale delle sottovarietà di spazi simmetrici. Queste varietà, che includono lo spazio proiettivo quaternionico HP^m, sono spazi immagine per mappe da superfici in varie teorie di supergravità.

*Sottoprogetto D1* Classificazione delle sottovarietà Kaehleriane di spazi quaternionici, usando le equazioni di Gauss-Codazzi-Ricci ed il concetto di olonomia normale. Si intendono sviluppare le relazioni tra la teoria dei twistor e la teoria delle mappe tra varietà iperkaehleriane [ChL]. Quest'ultima può essere estesa più in generale alle varietà quaternioniche e si inserisce nella teoria dei fibrati "istantoni" che forniscono soluzioni per le equazioni di Yang-Mills su spazi quaternionici [MaS].

*Sottoprogetto D2* Studio delle strutture quaternioniche e di quelle collegate dal punto di vista complesso e simplettico. Si intendono applicare analoghi della riduzione iperkaehleriana per descrivere e classificare strutture ipercomplesse ed "iperkaehleriane con torsione" (HKT) su gruppi di Lie e varietà associate, basandosi su [BDF]. Si vuole sviluppare la teoria delle deformazioni di strutture HKT e strutture complesse abeliane [FiG,MPPS].

Ci si propone la realizzazione di metriche quaternionico-Kaehleriane su sottovarietà della Grassmanniana dei 3-piani in un'algebra di Lie, usando la teoria di Morse-Bott. Questo fornisce un modello per la geometria di cohomogeneità uno, con collegamenti alla teoria delle metriche asintoticamente Einstein [Biq] ed alle metriche "extremal Kaehler" [Gua].

***COMPITI SPECIFICI***

Un importante compito dell'Unità di Ricerca di Torino sarà di incoraggiare uno scambio di conoscenze tra l'Unità stessa e quelle che contribuiscono ai precenti progetti a livello sia nazionale sia internazionale. Facciamo riferimento alle altre quattro Unità, e ai seguenti collaboratori potenziali: V. Apostolov e S. Ivanov (A1); A. Swann e R. Miatello (A2); C.Olmos (B1 e B2), E. Samiou (B2 e C2); D. Alekseevsky (B1 e D1); M. Barberis, I. Dotti, G. Grantcharov and Y-S.Poon (D2).

Questo sarà realizzato sia mediante visite dei componenti del gruppo a università esterne sia mediante congressi selezionati, come ad esempio quelli a
....Roma, Settembre 2005 (organizzato da S. Marchiafava),
....Kuehlungsborn (Germania), Marzo 2006 (co-organizzato da S.Chiossi).

Ci si propone di tenere un congresso a Torino nel 2006 per monitorare i progressi del complessivo progetto di ricerca. In aggiunta ai componenti delle cinque Unità, ci si propone di invitare due esperti esterni per valutare lo stato dei lavori e per relazionare gli sviluppi più recenti nelle aree collegate al progetto.

***ASPETTI DIDATTICI E FORMATIVI***

I componenti dell'Unità sono attivi nella pupplicazione di materiale didattico indirizzato a studenti all'inizio del dottorato. Uno studio di curve e superfici fornisce agli studenti spesso una prima introduzione alla geometria differenziale. Il lavoro sul volume [Gra] ha condotto a problemi di ricerca che collegano temi come le superfici minimali e i quaternioni, e di conseguenza introducendo le tematiche descritte in precedenza. Giustifica inoltre l'acquisto di materiale informatico hardware e sofdware.

Una presentazione più convenzionale di materiale per studenti di Dottorato rilevante per il Programma di Ricerca può essere trovato in [BrS]. L'Unità userà tale materiale per coinvolgere giovani ricercatori nell'attività del gruppo.

The overall research program has the following four subtitles:
.....(I) Special structures
....(II) Equations of mathematical physics
...(III) Geometry of submanifolds
....(IV) Contact and CR Geometry

There are already inherent intersections and interactions betweens the
themes and techniques represented by these headings. Within this overall structure, the Turin Unit proposes four projects, already listed in Section 2.4 above. These are:
....(A) Manifolds with exceptional holonomy
....(B) Normal holonomy and symmetric spaces
....(C) Submanifolds of Calabi-Yau spaces
....(D) Maps to and from quaternionic manifolds

These projects extend across the four subtitles, and all combine (I) and (III) by their very conception. Each will be divided into two specific subprojects to reflect different approaches to be adopted by different members of the Research Unit. The work on special holonomy proposed in (I) and (III) involves the construction of metrics with zero Ricci tensor. It has come about because of the impetus from mathematical physics, and takes on board other aspects covered by (II). Work on hypersurfaces, inherent in many of the eight subprojects, interacts with (IV), as does normal holonomy of odd-dimensional submanifolds.

**PROJECT A: Manifolds with exceptional holonomy**

Manifolds with exceptional holonomy have attracted much interest from mathematical physicists, and G_2 manifolds provide a generalization of Calabi-Yau theory that has received much attention in the literature. In M-theory, an 11-dimensional unification of supergravity and known string theories, manifolds with special holonomy form internal spaces on which (perhaps only) the simplest solutions of the relevant field equations can be found.

Many explicit constructions of metrics with holonomy G_2 involve building them up from 6-dimensional manifolds with a so-called half-flat SU(3) structure [GLPS,Hit,ChS]. The simplest examples start from 6-dimensional nilmanifolds, whose structure equations of finite length guarantee easy solution of the relevant differential equations. The group's work [AGS1,AGS2] provided a tailor-made supply of such examples, and an algebraic approach [ChF] has proved valuable in interpreting the results.

In a typical situation, a circle action determines a scalar moment map f, and one can play off the hypersurfaces f=constant with the S^1 quotient. Thus, a full understanding of the relationship between the almost-Hermitian and exceptional geometries in 6 and 7 dimensions requires the use of both hypersurfaces and quotient constructions. This is the essence of Project A.

*Subproject A1* This attempts to develop the geometry devised in papers of Acharya, Atiyah, Gukov and Witten which give special attention to the description and engineering of singulatities of G_2 metrics to describe particle hierachies. We shall investigate a conjectural construction of metrics with holonomy G_2 in [AcW] which involves expressing them as S^1 quotients of hyperkaehler 8-manifolds, themselves quotients of flat space and Swann bundles over 4-dimensional orbifolds. The theory provides a direct link with quaternionic geometry and twistor theory.

Quotients of standard G_2 spaces by circle actions were introduced several years ago [AtW], but it remains to describe explicit geometrical structures on the resulting 6-dimensional symplectic manifolds. This will be tackled using techniques from [ApS], whereby G_2 metrics give rise to a 4-manifold and a solution to a second order evolution equation on it. Working backwards, one can construct G_2 metrics from generalized hyperkaehler data, and a precise goal is the discovery results of new complete metrics with holonomy equal to G_2.

*Subproject A2* The interplay between the relevant geometries in 6 and 7 dimensions is consistent with the general construction of Einstein metrics on solvable extensions of nilpotent algebras in one dimension less [ChF,Heb]. We shall relate this to the conformally parallel G_2 metrics that can be found on solvmanifolds by means of the evolution equation approach [Hit,GLPS].

We plan to continue the classification of SU(3) structures on 6-dimensional nilmanifolds using spinors [AGS3], with reference to the newly-defined generalized complex structures [Gu,CaG]. The study of Hermitian metrics for which the Bismut connection has reduced holonomy is related to "Kaehler with torsion" geometry, and will hopefully lead to a classification of G_2 structures with a closed torsion 3-form [CSw].

The main construction of compact G_2 holonomy manifolds involves the resolution of a singular quotient of a torus T^7 by a discrete subgroup [Jo1]. We shall relate the orbifold cohomology of analogous examples to the index theory of coupled Dirac operators defined by a holonomy reduction [Sa2]. We shall also undertake a more general study of the geometry and topology of smooth manifolds with discrete holonomy, in relation with their spectral properties and the Dirac operator [MiP]. In particular, it is intended to apply methods developed in [CoM] to the computation of Z_2 cohomology and Stiefel-Whitney classes of flat Riemannian manifolds with discrete holonomy.

**PROJECT B: Normal holonomy and symmetric spaces**

This concerns a study of the holonomy group of the induced connection on the normal bundle to a submanifold. The normal holonomy theorem classifies the holonomy for this connection, providing both an analogue of Berger's theorem and a new approach to its proof [Olm].

The orbits of the isotropy representation of a symmetric space are generalized flag manifolds, extending the case of adjoint orbits in a Lie algebra. They give models of submanifolds of space forms with special behaviour, relevant to the determination of the normal holonomy group, and the geometry of submanifolds with simple geometric invariants [DiO,BCO]. On any generalized flag manifold, there exists a (Z_2)^n action in addition to a Hamiltonian T^n action [BGH]. This leads to the realization of generalized flag manifolds as focal manifolds of isoparametric submanifolds of Euclidean space [Con], and the scene is set for a study of the interaction between symplectic and Riemannian properties using the moment map.

*Subproject B1* We shall tackle the realization problem for normal holonomy of Kaehler submanifolds of CP^m, building on [AD1,AD2]. Given an irreducible Hermitian symmetric space G/K, the problem is to find a Kaehler submanifold of CP^m such that its normal holonomy group acts as the isotropy representation of G/K.

We shall initiate a study of normal holonomy in the analogous, but odd-dimensional case, of Sasakian submanifolds, and investigate integrability properties of induced CR structures. The analogous problem for submanifolds of quaternion symmetric spaces is considered separately in (D1) below.

*Subproject B2* Homogeneity remains an open problem for certain classes of isoparametric hypersurfaces, whilst it has recently been established for equifocal submanifolds of symmetric spaces [Chr]. Using properties of isoparametric and focal submanifolds, we shall study maximal sets of mutually antipodal points of a flag manifold and images of closed geodesics by the moment map [Con]. This will combine symplectic, Riemannian and topological properties (via Z_2^n-equivariant cohomology) of generalized flag manifolds.

**PROJECT C: Submanifolds of Calabi-Yau spaces**

Strictly speaking, a Calabi-Yau space is a compact Kaehler manifold of real dimension 2n, with zero first Betti number and zero first Chern class. Yau's theorem implies that such a manifold admits a Riemannian metric with zero Ricci tensor or, rather, one with holonomy equal to SU(n). However, in the absence of any explicit knowledge of such metrics, Calabi-Yau manifolds are in practice detected and defined by the existence of a nowhere-zero closed holomorphic n-form.

For the purpose of this project a "Calabi-Yau space" will consist of a noncompact 6-dimensional manifold with an explicit metric (often incomplete) with holonomy equal to SU(3). We are especially interested in how this geometry relates to two classes of submanifolds, one generic and the other restricted. The former is the class of arbitrary smooth hypersurfaces, and the latter the class of special Lagrangian submanifolds.

*Subproject C1* By analogy to the case of exceptional geometry, a metric with holonomy SU(3) induces on any smooth hypersurface a type of integrable SU(2)-structure whose definition is based on the theory of stable forms [Hit]. The name "hypo" has been coined in [CoS] to describe such 5-manifolds to reflect the fact that they satisfy a weaker condition (or are "under" defined) relative to the more familiar class of Einstein-Sasaki spaces. In this low-dimensional setting, we shall establish a reverse construction, whereby a hypo 5-manifold induces a metric with holonomy SU(3) on a product of itself with an interval. Matters are complicated by the existence of a number of differential forms defining the respective structures [CoS].

The previous question forms part of a more general "embedding problem", whereby a given manifold of dimension n-1 is extended to one with reduced holonomy in dimension n. This problem is best expressed in the language of spinors, though the general theory of [BGM] is of limited value in our case. We plan instead to address the problem using exterior differential systems, that have been successfully applied to the next problem. We shall also highlight the links with contact and CR structures, and analysis on generalized Heisenberg groups.

*Subproject C2* This will consist of the study of special Lagrangian submanifolds in Calabi-Yau spaces and 6-manifolds with an invariant SU(3)-structure. This problem has its origin in the construction [Bry] of Ricci-flat metrics on a 6-manifold formed by complexifying a 3-torus, a subject already developed by one of the members of the group [Ma1]. Our particular approach derives from the following fact.

Quaternionic structures on 8-manifolds with a closed Sp(2)Sp(1)-invariant 4-form can be reduced to compact 6-dimensional symplectic manifolds admitting a triple of transverse Lagrangian foliations. Our aim is to provide a source of examples and describe the resulting special Lagrangian submanifolds [Mat2,Gio].

Time permitting, we shall extend this theory to 7-manifolds admitting metrics with holonomy equal to G_2, in which the role of SL submanifolds is replaced by that of 4-dimensional coassociative submanifolds [Jo1,Kov].

**PROJECT D: Maps to and from quaternionic manifolds**

Quaternionic geometry plays an important supporting role in some of the above problems. We have already mentioned an application of the hyperkaehler quotient construction to the construction of metrics with holonomy G_2. The existence of a series of quaternionic symmetric ("Wolf") spaces, one for each simple Lie group, is relevant to the general study of submanifolds of symmetric spaces. These manifolds, that include quaternionic projective space HP^m, are target spaces for mappings of surfaces in various theories of supergravity.

*Subproject D1* The classification of Kaehler submanifolds of quaternionic spaces, using the Gauss-Codazzi-Ricci equations and the concept of normal holonomy. Develop relations with twistor theory and the theory of maps between hyperkaehler manifolds [ChL]. The latter can be extended to more general quaternionic manifolds, and fits into the theory of "instanton" bundles that provide solutions to the Yang-Mills equations over quaternionic spaces [MaS].

*Subproject D2* The study of quaternionic and related structures from the complex and symplectic point of view. Apply analogues of hyperkaehler reduction to describe and classify hypercomplex and "hyperkaehler with torsion" (HKT) structures on Lie groups and associated manifolds, building on [BDF]. Develop deformation theory of HKT and abelian complex structures [FiG,MPPS].

The realization of quaternion-Kaehler metrics on submanifolds of the Grassmannian of 3 planes in a Lie algebra, using Morse-Bott theory. This provides a model for cohomogeneity one geometry, with links to the theory of aymptotically Einstein metrics [Biq] and extremal Kaehler metrics [Gua].

***SPECIFIC DUTIES***

An important task of the Research Unit in Turin will be to encourage an exchange of knowledge between itself and those who can contribute to the above projects at a national and international level. We have in mind the other four Units, and the following potential collaborators: V. Aspotolov and S. Ivanov (A1); A. Swann and R. Miatello (A2); C. Olmos (B1 and B2); E. Samiou (C2 and B2); D. Alekseevsky (B1 and D1); M. Barberis, I. Dotti, G. Grantcharov and Y-S.Poon (D2).

This will be accomplished both by visits by team members to external universities and selected conferences, including the ones in
... Rome, September 2005 (organized by S. Marchiafava)
... Kuehlungsborn (Germany), March 2006 (co-organized by S. Chiossi).

It is proposed to hold a Review Workshop in Turin in 2006 to assess progress on the overall Research Program. In addition to members of the five units, it is planned to invite two external experts to assess the state of play and lecture on latest developments in areas related to the proposal.

***TEACHING AND FORMATIVE ASPECTS***

Members of the Unit are active in publishing material suitable for students at an early stage of a doctorate. A study of curves and surfaces often provides a student's first exposure to differential geometry. Work on the volume [Gra] is leading to research problems linking such topics as minimal surfaces and quaternions, and thereby introducing topics described above. It also justifies the purchase of additional computing hardware and software.

A more conventional presentation of graduate material relevant to the Research Program can be found in [BrS]. The Unit will help use such material to involve younger reseachers in their activity.

Nessuna

Testo inglese

Nessuna

2.7 Descrizione delle Grandi attrezzature da acquisire (GA)

Testo italiano

Nessuna

Testo inglese

Nessuna

2.8 Mesi uomo complessivi dedicati al programma

Testo italiano

		Numero	Mesi uomo 1° anno	Mesi uomo 2° anno	Totale mesi uomo
Personale universitario dell'Università sede dell'Unità di Ricerca		2	19	19	38
Personale universitario di altre Università		5	44	44	88
Titolari di assegni di ricerca		0
Titolari di borse	Dottorato	0
	Post-dottorato	0
	Scuola di Specializzazione	0
Personale a contratto	Assegnisti	0
	Borsisti	0
	Dottorandi	0
	Altre tipologie	0
Personale extrauniversitario		1	4	4	8
TOTALE		8	67	67	134

Testo inglese

		Numero	Mesi uomo 1° anno	Mesi uomo 2° anno	Totale mesi uomo
University Personnel		2	19	19	38
Other University Personnel		5	44	44	88
Work contract (research grants, free lance contracts)		0
PHD Fellows & PHD Students	PHD Students	0
	Post-Doctoral Fellows	0
	Specialization School	0
Personnel to be hired	Work contract (research grants, free lance contracts)	0
	PHD Fellows & PHD Students	0
	PHD Students	0
	Other tipologies	0
No cost Non University Personnel		1	4	4	8
TOTALE		8	67	67	134

PARTE III

3.1 Costo complessivo del Programma dell'Unità di Ricerca

Testo italiano

Voce di spesa	Spesa in Euro	Descrizione
Materiale inventariabile	8.500	3 PC con monitor 1 portatile Libri e riviste scientifiche
Grandi Attrezzature
Materiale di consumo e funzionamento	3.200	Telefono, fax, posta celere, cancelleria. Software per la rete e l'internet
Spese per calcolo ed elaborazione dati	600	Canone server e gestione web
Personale a contratto
Servizi esterni	0	Non sono previste spese per servizi esterni
Missioni	14.100	Viaggi e soggiorni in Italia e all'estero per collaborazioni e convegni rilevanti al progetto
Pubblicazioni	0	Non sono previste spese per pubblicazioni
Partecipazione / Organizzazione convegni	4.000	Organizzazione di una riunione a Torino nel 2006 con la partecipazione di alcuni collaboratori internazionali del progetto. Eventuali tasse d'iscrizione ad altri convegni.
Altro	9.600	Soggiorni intensivi di collaboratori e esperti internazionali. Costi amministrativi. Funzionamento del Dipartimento.
TOTALE	40.000

Testo inglese

Voce di spesa	Spesa in Euro	Descrizione
Materiale inventariabile	8.500	2 desktop PC's and monitors 1 laptop Books and scientific journals
Grandi Attrezzature
Materiale di consumo e funzionamento	3.200	Telephone, fax, express mail, stationary. Network and web related software
Spese per calcolo ed elaborazione dati	600	Computing network and web server costs
Personale a contratto
Servizi esterni	0	No such expenses are required
Missioni	14.100	Travel and acoomodation in Italy and abroad for relevant collaborative visits and conferences
Pubblicazioni	0	No publishing expenses are expected
Partecipazione / Organizzazione convegni	4.000	Organization of a meeting in Torino in 2006 to survey progress, with selected guest participation from outside Italy. Possible conference fees.
Altro	9.600	Intensive vists to Torino of international collaborators and experts. Departmental administrative costs.
TOTALE	40.000

		Descrizione
Costo complessivo del Programma dell'Unità di Ricerca	40.000
Fondi disponibili (RD + RA) comprensivi dell'8% max per spese di gestione	12.000	Fondi di ricerca del Dipartimento. Cofinanziamento erogato dall'Ateneo
Cofinanziamento di altre amministrazioni	0
Cofinanziamento richiesto al MIUR	28.000

(per la copia da depositare presso l'Ateneo e per l'assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati e la loro elaborazione necessaria alle valutazioni; D. Lgs, 196 del 30.6.2003 sulla "Tutela dei dati personali")

SALAMON	SIMON MONTAGUE	salamon@calvino.polito.it
MAT/03 - Geometria
Politecnico di TORINO
Facoltà di INGEGNERIA III
Dipartimento di MATEMATICA

SALAMON	SIMON MONTAGUE
Professore Ordinario	15/11/1955	SLMSMN55S15Z114N
MAT/03 - Geometria
Politecnico di TORINO
Facoltà di INGEGNERIA III
Dipartimento di MATEMATICA
011 564 7506 (Prefisso e telefono)	011 564 7599 (Numero fax)	salamon@calvino.polito.it (Indirizzo posta elettronica)